Phép tính nhân tử với số nguyên

Ví dụ một phép phân tích nhân tử với số nguyên:

100 = 2 2 × 5 2 {\displaystyle 100=2^{2}\times 5^{2}} 328 = 2 3 × 41 {\displaystyle 328=2^{3}\times 41}

Đa thức và phân tích nhân tử

Các đa thức cũng có thể được phân tích thành tích của các đa thức khác. Ví dụ:

x 7 + x 5 + 1 {\displaystyle x^{7}+x^{5}+1} = ( x 7 − x ) + ( x 5 − x 2 ) + x 2 + x + 1 {\displaystyle =(x^{7}-x)+(x^{5}-x^{2})+x^{2}+x+1}

= x ( x 6 − 1 ) + x 2 ( x 3 − 1 ) + ( x 2 + x + 1 ) {\displaystyle =x(x^{6}-1)+x^{2}(x^{3}-1)+(x^{2}+x+1)}

= x ( x 3 + 1 ) ( x 3 − 1 ) + x 2 ( x 3 − 1 ) + ( x 2 + x + 1 ) {\displaystyle =x(x^{3}+1)(x^{3}-1)+x^{2}(x^{3}-1)+(x^{2}+x+1)}

= ( x 4 + x 2 + x ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) + ( x 2 + x + 1 ) {\displaystyle =(x^{4}+x^{2}+x)(x-1)(x^{2}+x+1)+(x^{2}+x+1)}

= ( x 2 + x + 1 ) ( x 5 − x 4 + x 3 − x + 1 ) {\displaystyle =(x^{2}+x+1)(x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1)}